as porcentagensuma vez explicados, parecem sempre claros, mas existem alguns aspectos escorregadios que correm o risco de criar crenças erradas Em crianças. Quero apresentar alguns aspectos escorregadios de uma situação/problema.
Imagine que você explicou porcentagens para seus alunos. E quando tiver certeza de que eles os conhecem bem o suficiente, faça a seguinte pergunta:
Carlo vai comprar um par de sapatos que custa 80 euros. O funcionário, por engano, insere um preço acrescido de 20%. Felizmente, ele percebe e, para compensar, dá a Carlo um desconto de 20%. Desta forma, Carlo paga o certo?
Realmente tente fazer isso. O que vai passar? que impulso todos dirão que Carlo paga a quantia certa.
Agora tente fazer os cálculos, passo a passo.
- O balconista se engana e aumenta o preço em 20%. 20% de 80 euros é 16 euros.
- O preço aumentado é de 96 euros.
- O balconista percebe isso e calcula o desconto de 20%.
- 20% de 96 euros é 19,2 euros.
Para onde foram os 3,2 euros? Por que as contas não equilibram? A questão é que o funcionário calcula 20% duas vezes e que tendemos a raciocinar igualando um aumento de +20% e um desconto de -20%. Os dois sinais (e a palavra aumento) nos levam a pensar em termos de adição e subtração. E então +20% seguido de –20% é zero e esperamos fechar o círculo. Obviamente não.
Porque não? Os primeiros 20% calculados pelo funcionário são 80. Os segundos 20% referem-se ao número 96. As duas quantidades são diferentes, os resultados só podem ser diferentes.
RACIOCÍNIO COM MULTIPLICAÇÕES
Como podemos evitar cair em erros como esse? Raciocinando não de forma aditiva, mas pensando nas porcentagens em forma multiplicativa.
Quando o balconista comete um erro, o preço aumentado é 80×(1+20%). Por enquanto vamos escrever assim, não vamos calcular ainda. Haverá tempo para fazê-lo mais tarde.
Quando o funcionário se corrige posteriormente, ele diminui o preço incrementado e chega ao preço final. 80×(1+20%)×(1–20%).
Este projeto de lei parece… feio. Não vamos fazer isso ainda. Em vez disso, vamos dar um passo para trás.
O que é uma porcentagem? É uma forma de escrever algumas frações, e exatamente frações com denominador 100. Então podemos dizer que as três escrituras você encontra aqui abaixo estão três traduções do mesmo número.
PORCENTAGENS DIFERENTES
eu nosso caso a primeira é exatamente a definição de porcentagem. O segundo é a redução da fração aos seus termos mais baixos. O terceiro é a divisão decimal expressa pela fração reduzida.
Muitas vezes não enfatizamos isso o suficiente, mas o frações coração é que esses quatro números são o mesmo número escrito com expressões diferentes. Agora estamos prontos para retornar ao preço final: 80×(1+20%)×(1–20%) o que mais é se não 80×(1+0,2)×(1–0,2) quer dizer 80×1,2×0,8 Que queres dizer 80×0,96 Isso é menor que 80.
Ao trabalhar com porcentagens, devemos sempre enfatizar que elas representam uma razão; que denota uma parte de um todo. Obviamente, se o número inteiro mudar, o valor da parte percentual também mudará.
E é isso que acontece com o funcionário desavisado (ou generoso?).
Um problema muito mais complicado é o seguinte: depois que o funcionário aumentou o preço por engano em 20%, em que percentual ele deve reduzi-lo para voltar ao preço inicial? Para encontrar essa porcentagem, vamos imaginar que aumentamos o preço, 80×1,2=96.
A questão é: por qual número preciso multiplicá-lo para obter 80 novamente? Temos que fazer 96×?=80
Esta é uma questão de escritório de complicações de negócios simples.
Na verdade, a resposta é obtida com a operação inversa da multiplicação: a divisão. Para obter o número que multiplicado por 96 dá 80, basta divida 80 por 96. e obter 0,833.
Então o desconto é 1-0,833=0,167. Ou seja, o 16,7%. Ver para crer.
Existe outra forma de obter o mesmo resultado (é sempre importante mostrar às crianças caminhos diferentes que levam ao mesmo objetivo: matemática Não é um labirinto de ruas de sentido único com apenas uma saída.; É uma floresta de possibilidades onde devemos aprender a marcar nossos caminhos).
Vamos parar após a primeira etapa, quando o funcionário tiver calculado O aumento (16 euros) e o preço aumentado incorretamente (96€). Quanto você tem que baixar o preço para voltar a 80 euros? A resposta é: de 16 eurosqualquer. Portanto, o desconto deve ser de 16,7%.
Nesta segunda forma, também percebemos que as duas porcentagens devem ser diferentes. Frações diferentes são porcentagens diferentes.